Fortran中的数值优化技术

相思树下相思赋

引言
数值优化在科学计算和工程应用中起着关键作用，用于求解最优化问题。Fortran作为一种强大的数值计算语言，提供了丰富的数值优化工具和算法。本文将介绍Fortran中的数值优化技术，通过多个代码示例帮助读者掌握这些关键技术。
示例1: 使用Nelder-Mead算法进行无约束优化
Nelder-Mead算法是一种常用的无约束优化方法，适用于求解多变量函数的极小值。
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program nelder_mead_optimization
implicit none
real, parameter :: tol = 1.0e-6
integer, parameter :: max_iter = 1000
hong360.cn/hlrX5F/
njsyh.cn/sgsdL3/
23tx.cn/aYX3IY/
18yax.cn/MUvNPB/
tkren.cn/UlY71A/
dzpdc.cn/2W3gIM/
real :: x(2), fval
integer :: iter
! 初始猜测
x = (/ -1.2, 1.0 /)
! 调用优化子程序
call nelder_mead(x, fval, iter)
! 打印结果
print *, 'Optimized x:', x
print *, 'Function value at optimized x:', fval
print *, 'Iterations:', iter
contains
subroutine nelder_mead(x, fval, iter)
real, intent(inout) :: x(2)
real, intent(out) :: fval
integer, intent(out) :: iter
real :: x0(2), x1(2), x2(2), x3(2), f0, f1, f2, f3, xr(2), fr, xe(2), fe, xc(2), fc
real :: alpha, beta, gamma
integer :: i
alpha = 1.0
beta = 0.5
gamma = 2.0
x0 = x
x1 = x0 + (/ 0.05, 0.0 /)
x2 = x0 + (/ 0.0, 0.05 /)
f0 = func(x0)
f1 = func(x1)
f2 = func(x2)
do iter = 1, max_iter
! 排序
if (f1 < f0) then
call swap(x0, x1)
call swap(f0, f1)
end if
if (f2 < f1) then
call swap(x1, x2)
call swap(f1, f2)
end if
if (f1 < f0) then
call swap(x0, x1)
call swap(f0, f1)
end if
! 反射
xr = (1 + alpha) * x0 - alpha * x2
fr = func(xr)
if (fr < f1) then
x2 = xr
f2 = fr
cycle
end if
! 扩展
if (fr < f0) then
xe = gamma * xr + (1 - gamma) * x0
fe = func(xe)
if (fe < fr) then
x2 = xe
f2 = fe
else
x2 = xr
f2 = fr
end if
cycle
end if
! 压缩
xc = beta * x2 + (1 - beta) * x0
fc = func(xc)
if (fc < f2) then
x2 = xc
f2 = fc
cycle
end if
! 收缩
x1 = (x0 + x1) / 2.0
x2 = (x0 + x2) / 2.0
f1 = func(x1)
f2 = func(x2)
if (maxval(abs(x2 - x0)) < tol) exit
end do
x = x0
fval = f0
end subroutine nelder_mead
function func(x)
real :: func
real, intent(in) :: x(2)
func = 10.0 * (x(2) - x(1)**2)**2 + (1.0 - x(1))**2
end function func
subroutine swap(a, b)
real, intent(inout) :: a, b
real :: temp
temp = a
a = b
b = temp
end subroutine swap
end program nelder_mead_optimization
代码解释

• Nelder-Mead算法实现: 实现了Nelder-Mead算法的优化过程，包括反射、扩展、压缩和收缩步骤。
  
• 目标函数: 定义了待优化的目标函数 func。
  
• 交换子程序: 实现了交换变量值的子程序 swap。
  

示例2: 使用共轭梯度法进行无约束优化
共轭梯度法是一种适用于无约束优化的迭代算法，特别适用于大规模优化问题。
fortran
复制代码
program conjugate_gradient_optimization
implicit none
real, parameter :: tol = 1.0e-6
integer, parameter :: max_iter = 1000
real :: x(2), fval
integer :: iter
! 初始猜测
x = (/ -1.2, 1.0 /)
! 调用优化子程序
call conjugate_gradient(x, fval, iter)
! 打印结果
print *, 'Optimized x:', x
print *, 'Function value at optimized x:', fval
print *, 'Iterations:', iter
contains
subroutine conjugate_gradient(x, fval, iter)
real, intent(inout) :: x(2)
real, intent(out) :: fval
integer, intent(out) :: iter
real :: g(2), h(2), p(2), alpha, beta, fnew
integer :: i
! 初始梯度和方向
call grad(x, g)
h = -g
p = h
do iter = 1, max_iter
! 线搜索确定步长alpha
alpha = line_search(x, p)
! 更新x
x = x + alpha * p
! 计算新的梯度
call grad(x, g)
! 检查收敛
if (norm2(g) < tol) exit
! 计算beta
beta = dot_product(g, g) / dot_product(h, h)
! 更新方向
h = -g + beta * h
p = h
end do
fval = func(x)
end subroutine conjugate_gradient
function func(x)
real :: func
real, intent(in) :: x(2)
func = 10.0 * (x(2) - x(1)**2)**2 + (1.0 - x(1))**2
end function func
subroutine grad(x, g)
real, intent(in) :: x(2)
real, intent(out) :: g(2)
g(1) = -40.0 * x(1) * (x(2) - x(1)**2) - 2.0 * (1.0 - x(1))
g(2) = 20.0 * (x(2) - x(1)**2)
end subroutine grad
function norm2(v)
real :: norm2
real, intent(in) :: v(2)
norm2 = sqrt(sum(v**2))
end function norm2
function line_search(x, p)
real :: line_search
real, intent(in) :: x(2), p(2)
real :: alpha, alpha_min, alpha_max, f0, f1
alpha_min = 0.0
alpha_max = 1.0
f0 = func(x)
do
alpha = (alpha_min + alpha_max) / 2.0
f1 = func(x + alpha * p)
if (f1 < f0) then
alpha_max = alpha
else
alpha_min = alpha
end if
if (alpha_max - alpha_min < tol) exit
end do
line_search = alpha
end function line_search
end program conjugate_gradient_optimization
代码解释

• 共轭梯度法实现: 实现了共轭梯度法的优化过程，包括梯度计算、方向更新和线搜索步骤。
  
• 目标函数: 定义了待优化的目标函数 func。
  
• 梯度计算子程序: 实现了计算梯度的子程序 grad。
  
• 线搜索子程序: 实现了线搜索确定步长的子程序 line_search。
  

示例3: 使用牛顿法进行无约束优化
牛顿法是一种基于二阶导数的优化方法，具有快速收敛的特点。
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