函数y=(x-10)(x-16)(x-41)的主要性质

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作者: murillo | 时间: 2022-5-15 00:26:44 | 其他|
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发表于 2022-5-15 00:26:44| 显示全部楼层 |阅读模式


※.函数的定义域

根据函数的特征,函数自变量x可取全体实数,则函数的定义域为:(-∞,+∞)。

※.函数的单调性

本题介绍通过导数的知识,计算函数的一阶导数,得到函数的驻点,来解析函数的单调性并求出函数的单调区间。
∵y=(x-10)(x-16)(x-41)
∴dy/dx
=(x-16)(x-41)+(x-10)[(x-41)+(x-16)]
=(x-16)(x-41)+(x-10)(2x-10)
=3x^2-2*67x+1226。令dy/dx=0,则:
3x^2-134x+1226=0,由二次方程求根公式求出两根为:
x1=(67+√811)/3≈31.8;
x2=(67-√811)/3≈12.8。
此时,判断函数的单调性有:
(1).当x∈(-∞,12.8]∪[31.8,+∞)时,
dy/dx≥0,函数y在定义域上为增函数;
(2).当x∈(12.8,31.8)时,dy/dx<0,
函数y在定义域上为减函数。

※.函数的凸凹性

求出函数的二阶导数,得到函数的拐点,并解析函数的凸凹性及凸凹区间。
∵dy/dx=3x^2-134x+1226,
∴d^2y/dx^2=6x-134。
令d^2y/dx^2=0,则x=67/3≈22.3.
(1).当x∈(-∞,22.3],d^2y/dx^2≤0,
此时函数y为凸函数;
(2).当x∈(22.3,+∞),d^2y/dx^2>0,
此时函数y为凹函数。
※.函数的极限

lim(x→-∞)(x-10)(x-16)(x-41)=-∞;
lim(x→+∞)(x-10)(x-16)(x-41)=+∞。

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