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表面积相同的球体和正方体哪个体积比较大?你知道吗?

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作者: murillo | 时间: 2021-11-26 04:24:36 | 其他|
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高中生

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发表于 2021-11-26 04:24:36来自手机 | 显示全部楼层 |阅读模式
小学六年级我们就学习了边长相同的圆和正方形,圆的面积更大。那么表面积相同的球体和正方体,它们的体积又有什么关系呢?会不会还是球体的体积更大呢?接下来,老黄就和你一起来推导一下,看看到底是谁的体积更大。

首先,我们设球体的半径为r,正方体的棱长为a,因此正方体的表面积可以表示为:S正方体=6a^2,而球体的表面积可以表示为:S球体=4πr^2。
当两者的面积相同时,即6a^2=4πr^2,可以推得a=r倍根号内(2π/3)。又正方体的体积V正方体=a^3=2πr^3 /3 乘以根号内(2π/3)。球体的体积V球=4πr^3 /3。因此问题的关键就变成了要比较2倍根号内(2π/3)和4的大小。还可以继续化简为比较根号(2π/3)和2的大小。2就是根号4,这样就可以转化成比较2π/3和4的大小。很明显的,2π/3比4小,从而正方体的体积比球体的体积小。即表面积相同的球体的体积比正方体的体积大。
事实上,在已知的几何体中,面积相同时,球体的体积是最大的。因此如果你要去买罐子之类的盛器,想让它能盛更多东西,就要选那种肚子鼓鼓像一个球的。
反过来,如果问你,几个体积相同的几何体,其中包括球体,你知道它们之中,谁的表面积最小吗?你能够马上反应过来,体积相同,球体的表面积最小吗?这就是所谓的“省材料”的说法,与“面积相同时,圆的周长最小”是同一个道理的。
最后老黄再给大家出一道原创的练习题,以加深对这个知识的理解。由于题目是即时原创的,有可能出现不够严密的地方,请大家指正并见谅。
甲乙两人有相同的材料,各可以制作成表面积为1平方米的陶罐。甲作成球状陶罐(忽略罐口和罐底的因素,看作完全球状),其容积为100升。问:(1)如果乙要制作一个容积相同的正方形陶罐(看作密闭的),那么乙的材料是否足够?(2)乙从甲那里借来了剩余的材料,现在乙的材料足够吗?
爱学习的小伙伴可以尝试解决这道题。解出来后就基本上能够掌握这个知识点了。

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